對，我就是在說其他解題報告

都已經在寫程式了，那還是動手讓程式算吧

只要條件設定的夠好，暴力解也不會 TLE

$T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

$P_{n}=\frac{n(3n-1)}{2}$

$H_{n}=n(2n-1)$

求 $T_{t} = P_{p} = H{h}$ 的解，其中 $t, p, h$ 均為正整數

簡化下面這兩個等式

$T_{t} = H{h} = \frac{t(t+1)}{2} = h(2h-1)$

$P_{p} = H{h} = \frac{p(3p-1)}{2} = h(2h-1)$

可得下面的結果(忽視過程，大意就是套一元二次方程式的公式解)

$t = 2h - 1$

$p = \frac{1+\sqrt{48h^2-24h+1}}{6}$

已經盡量簡化了，如果還有更簡單的歡迎提出來(其實也不是我自己算的，我是丟給chatGPT讓他幫我簡化)

透過上面的關係式，我們可以觀察到 Hexagonal 其實就是 Triangle 的子集，Hexagonal 的所有數字都會在 Triangle 中出現。

這是好消息，意味著我們不需要窮舉 Triangle 的值，

隨便輸入一個 Hexagonal 的數字，必然可以在 Triangle 中找到一模一樣的數字。

我們只需要找 Pentagonal 中有沒有和 Hexagonal 一樣的數字就可以了

透過上面的關係式，我們也可以不用窮舉 Pentagonal 的值，

我們知道在 $P_{n}=\frac{n(3n-1)}{2}$ 中， $n$ 必為正整數

這代表 $p = \frac{1+\sqrt{48h^2-24h+1}}{6}$ 的 $p$ 也必須是正整數

所以根號裡面的東西就只能是完全平方數，這樣才可能有解

有以上的線索後就可以暴力解了

窮舉 $h$ 的值，從 144 後開始(題目說的)，尋找符合條件的 $p$ 

參考答案: gist 連結